(以下仅供参考,不同结论请酌情给分.每个正确结论给(2分),证明给5分) 可以得出有以下结论: (Ⅰ)三个侧面OAB、OAC、OBC两两互相垂直(或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB) (Ⅱ)=++(H为△ABC的重心) (Ⅲ)S△OAB2+S△OAB2+S△OBC2=S△ABC2 以下给出具体的证明: (1)证明:∵OA⊥OC,OB⊥OC∴OC⊥平面OAB ∴平面OAC⊥平面OAB 平面OBC⊥平面OAB 同理可证平面OBC⊥平面OAC
(2)证明:如图连接AH并延长AH交BC于D连接OD ∵OA⊥面OBC∴OA⊥OD 在Rt△ABC中∵OH⊥OD∴OH•AD=AO•OD ∴OH2•AD2=AO2•OD2 又∵AD2=OA2+OD2∴=+ ∵AD⊥BC,由三垂线定理得:BC⊥OD ∴在Rt△OBC中 OD2•BC2=BO2•CO2 ∴OD2=又∵BC2=BO2+CO2 ∴=+②由①②得:=++
(Ⅳ) 证明:如图(延用(Ⅸ)中的字母a,b,c)∵H为垂心∴AD⊥BC 又∵OA、OB、OC两两垂直∴S△OAB=ab S△OBC=bc S△OAC=ac S△ABC=BC•AD ∴S△OAB2+S△OAC2+S△OBC2=( a2 b2+b2 c2+a2 c2)=a2(b2+c2)+b2 c2…① 又∵在Rt△BOC中,OD⊥BC∴OB2•OC2=b2 c2=OD2•BC2=OD2•(b2+c2)…② ∴②代入①得:S△OAB2+S△OBC2+S△OAC2=(b2+c2)•AD2=BC2•AD2=S△ABC2 |