(1)下面图形由单位正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,在横线上方处画出下一个适当的图形;(2)图中的三角形称为希尔宾斯基三角形,在如图所示的四个三
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(1)下面图形由单位正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,在横线上方处画出下一个适当的图形;(2)图中的三角形称为希尔宾斯基三角形,在如图所示的四个三
题型:北京月考题
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(1)下面图形由单位正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,在横线上方处画出下一个适当的图形;
(2)图中的三角形称为希尔宾斯基三角形,在如图所示的四个三角形中,着色三角形的个数依次构成数列的前四项,依此着色方案继续对三角形着色,求着色三角形的个数的通项公式b
n
(3)依照(1)中规律,继续用单位正方形绘图,记每个图形中单位正方形的个数为
a
n
(n=1,2,3,…),设
,求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
答案
解:(1)在第一个图形中,只有一层,一个小正方形;
在第二个图形中,有两层,从上至下分别为1个、2个小正方形;
在第三个图形中,有三层,从上至下分别为1个、2个、3个小正方形;
由此归纳:第四个图形中,有四层,从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形.
因此答案如右图所示:
(2)由图形从左向右数着色的三角形的个数,发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍,所以,所以{b
n
}构成以1为首项,公比为3的等比数列,由此不难得到{b
n
}的通项公式,
∴由等比数列的通项公式,可得着色三角形的个数的通项公式为:
.
(3)由题意,可得a
n
=1+2+3+4+…+n=
,
∴
,
所以
.①
所以
.②
①﹣②得
.
所以﹣2Sn=
.即
,其中n∈N+
举一反三
平面上有n个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成f(n)块区域,有f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,则f(n)的表达式为
[ ]
A.2n
B.2
n
C.n
2
﹣n+2
D.2
n
﹣(n﹣1)(n﹣2)(n﹣3)
题型:北京期末题
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观察以下不等式
可归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式
,则不等式右端
f(n)的表达式应为( ).
题型:北京期末题
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下列是关于复数的类比推理:
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则;
②由实数绝对值的性质|x|
2
=x
2
类比得到复数z的性质|z|
2
=z
2
;
③已知a,b∈R,若a﹣b>0,则a>b.类比得已知z
1
,z
2
∈C,若z
1
﹣z
2
>0,则z
1
>z
2
;
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中推理结论正确的是( ).
题型:北京期末题
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已知正弦函数y=sinx具有如下性质:若x
1
,x
2
,…x
n
∈(0,π),则
≤sin(
)(其中当 x
1
=x
2
=…=x
n
时等号成立).
根据上述结论可知,在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为( ).
题型:北京期末题
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一个三角形数阵如下:
1
2 2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
…
按照以上排列的规律,第10行从左向右的第3个数为( ).
题型:山东省月考题
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