设函数f（x）对定义域内任意实数都有f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）·f（y）成立。求证：对定义域内任意x都有f（x）>0。

题型：同步题难度：来源：

设函数f（x）对定义域内任意实数都有f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）·f（y）成立。
求证：对定义域内任意x都有f（x）>0。

答案

证明：设对满足题设条件的任意x，f（x）>0不成立，即存在某个x₀，使f（x₀）≤0，
∵f（x）≠0，
∴f（x₀）<0，
又知
这与假设，f（x₀）<0矛盾，所以假设不成立，
故对定义域内任意的x都有f（x）>0。