（选做题）如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE·BD-AE

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（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：

（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE·BD-AE·AC。

答案

解：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°
又EF⊥AB，∠EFA=90°，
则A，D，E，F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA。
（2）由（1）知，BD·BE=BA·BF，
又△ABC∽△AEF，
∴

即AB·AF=AE·AC
∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB（BF-AF）=AB²。

举一反三

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是

的中点，BD交AC于E。

（1）求证：CD²=DE·DB；
（2）若

，O到AC的距离为1，求⊙O的半径。

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如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB²=AP·AD，
（Ⅰ）求证：AB=AC；
（Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长。

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在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC =5，点E，F分别在AB，CD上，且EF∥AD，若

，则EF的长为
A.

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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD=12，BC=20，则EF=（）。

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如图，以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=（）。

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（选做题）如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证： （1）∠DEA=∠DFA； （2）AB2=BE·BD-AE