如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE·BF=BC·BD。

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答案

解：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，
又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF
∴

即BE·BF=BC·BD。

举一反三

在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。
（Ⅰ）求证：

；
（Ⅱ）若AC=3，求AP·AD的值。

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如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点。

（1）求证：AD∥OC；
（2）若⊙O的半径为1，求AD·OC的值。

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如图，AB，CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2，
(1)求AC的长；
(2)求证：EF=BE。

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如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD，
(1)求证：EF·EP= DE·EA；
(2)若EB=DE=6，EF=4，求PA的长．

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（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：

（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE·BD-AE·AC。

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