如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF= FC，(Ⅰ)求证：C是弧BD的中点；(Ⅱ)求证：BF=FC．

题型：海南省模拟题难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF= FC，
(Ⅰ)求证：C是弧BD的中点；
(Ⅱ)求证：BF=FC．

答案

证明：(Ⅰ)∵CF=FG，
∴∠BGC=∠ACE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠GCB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴，
∴，∴，
∴C是的中点。
(Ⅱ)∵∠ECB=90°-∠ECA，∠EAC=90°-∠ECA，
∴∠ECB=∠EAC，
又由(Ⅰ)知，∠CBG(D)=∠EAC(C)，
∴∠E(F)CB=∠CBF(G)，CF= BF，
又CF=FG，
∴BF=FG。