如图⊙O的两弦AB,CD所在直线交于圆外一点P.(1)若PC=2,CD=1,点A为PB的中点,求弦AB的长;(2)若PO平分∠BPD,求证:PB=PD.
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如图⊙O的两弦AB,CD所在直线交于圆外一点P.(1)若PC=2,CD=1,点A为PB的中点,求弦AB的长;(2)若PO平分∠BPD,求证:PB=PD.
题型:不详
难度:
来源:
如图⊙O的两弦AB,CD所在直线交于圆外一点P.
(1)若PC=2,CD=1,点A为PB的中点,求弦AB的长;
(2)若PO平分∠BPD,求证:PB=PD.
答案
解(1)由割线定理可得:PA?PB=PC?PD,
∵点A为PB的中点,∴PA=AB,∴AB?2AB=2×3,解得AB=
3
.
(2)作OM⊥CD于 M,ON⊥AB于N,
∵PO平分∠BPD,∴OM=ON,在同圆中弦心距相等,∴AB=CD,
∴点M平分弦CD,点N平分弦AB,∴AN=NB,CM=MD,∴NB=MD.
又∵△PON≌△POM,∴PN=PM,
∴PN+NB=PM+MD,
∴PB=PD.
举一反三
(选做题)如图,PC切⊙O于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E,PC=4,PB=8,则CD=______.
题型:不详
难度:
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(几何证明选讲选做题)
如图,PAB、PCD是圆的两条割线,已知PA=6,AB=2,PC=
1
2
CD.则PD=______.
题型:不详
难度:
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(几何证明选讲选做题)如图,⊙O中的弦AB与直径CD相交于P,M为DC延长线上一点,MN为⊙O的切线,N为切点,若AP=8,PB=6,PD=4,MC=6,则MN的长为______.
题型:不详
难度:
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如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使得CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F,求证BE平分∠ABC.
题型:不详
难度:
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如图圆上的劣弧
CBD
所对的弦长CD=
3
,弦AB是线段CD的垂直平分线,AB=2,则线段AC的长度为______.
题型:湛江一模
难度:
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