已知,如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,AC=AB,CO交⊙O于点P,CO的延长线交⊙O于点F,BP的延长线交AC于点E.(1) 求证:FA∥BE;(2

已知,如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,AC=AB,CO交⊙O于点P,CO的延长线交⊙O于点F,BP的延长线交AC于点E.(1) 求证:FA∥BE;(2

题型:不详难度:来源:
已知,如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,AC=AB,CO交⊙O于点P,CO的延长线交⊙O于点F,BP的延长线交AC于点E.

(1) 求证:FA∥BE;
(2)求证:;           
(3)若⊙O的直径AB=2,求的值.
答案
(1)根据题意,由于∠OAF=∠F ∵∠B=∠F ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE 可知结论。
(2)利用△APC∽△FAC来得到证明。
(3)tan∠F=
解析

试题分析:解 证明:(1)在⊙O中,∵直径AB与FP交于点O ∴OA=OF
∴∠OAF=∠F ∵∠B=∠F ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE                 3分
(2)∵AC为⊙O的切线,PA是弦 ∴∠PAC=∠F
∵∠C=∠C ∴△APC∽△FAC ∴                  6分
∵AB="AC" ∴  .
(3)∵AC切⊙O于点A,CPF为⊙O的割线,则有
AC2=CP•CF=CP(CP+PF),∵PF="AB=AC=2" ∴CP(CP+2)=4
整理得CP2+2CP-4="0," 解得CP=-1±
∵CP>0 ∴CP=                                     8分
∵FP为⊙O的直径 ∴∠FAP=900
由(2)中证得
在Rt△FAP中,tan∠F=               10分
点评:主要是考查了三角形相似性质的运用,以及切割线定理的运用,属于基础题。
举一反三
如图,的内心为分别是的中点,,内切圆分别与边相切于;证明:三线共点.

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如图示,是半圆周上的两个三等分点,直径,垂足为,则的长为       

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如图,是半圆的直径,的延长线上,与半圆相切于点.若,则______.

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在△中,是边的中点,点在线段上,且满足,延长于点,则的值为    
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如图,四边形的外接圆为⊙是⊙的切线,的延长线与相交于点
求证:

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