(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程是x=acosφy=3sinφ(φ为参数,a>0),直线l的参数方程是x=3+ty=-1-t(t为参数),曲

(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程是x=acosφy=3sinφ(φ为参数,a>0),直线l的参数方程是x=3+ty=-1-t(t为参数),曲

题型:不详难度:来源:
(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程是





x=acosφ
y=


3
sinφ
(φ为参数,a>0),直线l的参数方程是





x=3+t
y=-1-t
(t为参数),曲线C与直线l有一个公共点在x轴上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系.
(Ⅰ)求曲线C普通方程;
(Ⅱ)若点A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+
3
),C(ρ3,θ+
3
)
在曲线C上,求
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
1
|OC|2
的值.
答案
(Ⅰ)∵直线l的参数方程是





x=3+t
y=-1-t
(t为参数),消去参数t得x+y=2,令y=0,得x=2.
∵曲线C的参数方程是





x=acosφ
y=


3
sinφ
(φ为参数,a>0),消去参数φ得
x2
a2
+
y2
3
=1

把点(2,0)代入上述方程得a=2.
∴曲线C普通方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)∵点A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+
3
),C(ρ3,θ+
3
)
在曲线C上,即A(ρ1cosθ,ρ1sinθ),B(ρ2cos(θ+
3
),ρ2sin(θ+
3
))
C(ρ3cos(θ+
3
),ρ3sin(θ+
3
))
在曲线C上,
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
1
|OC|2
=
1
ρ12
+
1
ρ22
+
1
ρ32
=
1
4
(cos2θ+cos2(θ+
3
)+
cos2(θ+
3
))
+
1
3
(sin2θ+sin2(θ+
3
)+
sin2(θ+
3
))

=
1
4
(
1+cos2θ
2
+
1+cos(2θ+
3
)
2
+
1+cos(2θ+
3
)
2
)
+
1
3
(
1-cos2θ
2
+
1-cos(2θ+
3
)
2
+
1-cos(2θ+
3
)
2
)

=
3+cos2θ-cso(2θ+
π
3
)+cos(2θ-
π
3
)
8
+
3-cos2θ+cos(2θ+
π
3
)-cos(2θ+
3
)
6

=
3
8
+
3
6
=
7
8
举一反三
在极坐标系中,点A的极坐标是(1,π),点P是曲线C:ρ=2sinθ上的动点,则|PA|的最大值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为





x=cosa
y=1+sina
(a为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴中,曲线C2的方程为p(cosθ-sinθ)+1=0,则C1与C2的交点个数为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知在平面直角坐标系xoy中,圆C的参数方程为





x=2cosα
y=1+2sinα
(α为参数),与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρsin(θ-
π
3
)=1
,则圆C截直线l所得的弦长为______.
题型:永州一模难度:| 查看答案
已知抛物线C1的参数方程为数学公式(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r=(  )
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
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A.1B.C.D.2
(极坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,ρ(2,
π
3
)
的直角坐标是______.