设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，则x+y+z=______．

题型：湖北难度：来源：

设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=

14

，则x+y+z=______．

答案

根据柯西不等式，得
（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）=14（x²+y²+z²）
当且仅当

x

1

=

y

2

=

z

3

时，上式的等号成立
∵x²+y²+z²=1，∴（x+2y+3z）²≤14，
结合x+2y+3z=

14

，可得x+2y+3z恰好取到最大值

14

∴

x

1

=

y

2

=

z

3

=

14

14

，可得x=

14

14

，y=

14

7

，z=

3 14

14

因此，x+y+z=

14

14

+

14

7

+

3 14

14

=

3 14

7

故答案为：

3 14

7