设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a、b的值；(2)求A2的逆矩阵．

题型：不详难度：来源：

设曲线2x²＋2xy＋y²＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x²＋y²＝1.
(1)求实数a、b的值；
(2)求A²的逆矩阵．

答案

（1）a＝b＝1（2）

解析

(1)设曲线2x²＋2xy＋y²＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应的变换下的象是P′(x′，y′)，由＝＝，得
因为P′(x′，y′)在圆x²＋y²＝1上，所以(ax)²＋(bx＋y)²＝1，
化简可得(a²＋b²)x²＋2bxy＋y²＝1，依题意可得a²＋b²＝2，2b＝2a＝1，b＝1或a＝－1，b＝1，而由a>0可得a＝b＝1.
(2)由(1)A＝，A²＝＝|A²|＝1，(A²)^－1＝.