选修4­2：矩阵与变换已经矩阵M＝．(1)求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；(2)求M的特征值与特征向量．

题型：不详难度：来源：

选修4­2：矩阵与变换
已经矩阵M＝．
(1)求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；
(2)求M的特征值与特征向量．

答案

(1) ．
(2)当λ₁＝4时，由Mα₁＝λ₁α₁，得特征向量α₁＝；
当λ₂＝5时，由Mα₂＝λ₂α₂，得特征向量α₂＝．

解析

本试题主要是考查了矩阵的运算，以及特征向量的求解和特征多项式的表示的综合运用。
（1）因为M＝．设直线上任意一点在作用下对应点，则  ＝ ，
（2）因为矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，进而讨论得到特征向量。
(1)因为M＝． 设直线上任意一点在作用下对应点，则  ＝ ，………………………………………………………………２分
即，所以，代入，得，即，
所以所求曲线的方程为．……………………………………………………………4分
(2)矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，
所以M的特征值为λ₁＝4，λ₂＝5． …………………………………………………………6分
当λ₁＝4时，由Mα₁＝λ₁α₁，得特征向量α₁＝；
当λ₂＝5时，由Mα₂＝λ₂α₂，得特征向量α₂＝．…………………………………………10分