设a>0,b>0,已知函数f(x)=.(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(1)判断f(1),f
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设a>0,b>0,已知函数f(x)=.(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(1)判断f(1),f
题型:不详
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来源:
设a>0,b>0,已知函数f(x)=
.
(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.
(1)判断f(1),f(
),f(
)是否成等比数列,并证明f(
)≤f(
);
(2)a、b的几何平均数记为G.称
为a、b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围.
答案
(1)当a>b>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)上单调递增;
当0<a<b时,f′(x)<0,函数f(x)在(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)上单调递减.
(2)见解析
解析
(1)函数的定义域为{x|x≠﹣1},
∴当a>b>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)上单调递增;
当0<a<b时,f′(x)<0,函数f(x)在(﹣∞,﹣1),(﹣1,+∞)上单调递减.
(2)(1)计算得f(1)=
,f(
)=
,f(
)=
.
∵
∴f(1),f(
),f(
)成等比数列,
∵a>0,b>0,∴
≤
∴f(
)≤f(
);
(2)由(1)知f(
)=
,f(
)=
,
故由H≤f(x)≤G,得f(
)≤f(x)≤f(
).
当a=b时,f(
)=f(x)=f(
)=f(1)=a,此时x的取值范围是(0,+∞),
当a>b时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,这时有
≤x≤
,即x的取值范围为
≤x≤
;
当a<b时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,这时有
≤x≤
,即x的取值范围为
≤x≤
.
举一反三
设函数
.
为常数且
(1)当
时,求
;
(2)若
满足
,但
,则称
为
的二阶周期点.证明函数
有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点
;
(3)对于(2)中的
,设
,记
的面积为
,求
在区间
上的最大值和最小值。
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设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
A.[-x]=-[x]
B.[x +
]=[x]
C.[2x]=2[x]
D.
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|
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(2013•浙江)已知a、b、c∈R,函数f(x)=ax
2
+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( )
A.a>0,4a+b=0
B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0
D.a<0,2a+b=0
题型:不详
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|
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(2013•浙江)已知函数f(x)=
,若f(a)=3,则实数a=
_________
.
题型:不详
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|
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对任意的实数
,记
,若
,其中奇函数
在
时有极小值
,
是正比例函数,函数
与函数
的图象如图所示,则下列关于函数
的说法中,正确的是( )
A.
为奇函数
B.
有极大值
且有极小值
C.
的最小值为
且最大值为
D.
在
上不是单调函数
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|
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