试题分析:(1)由数量积的坐标运算,将表示为,然后利用,将其转换为关于的一元函数,并将其变形为,计算的范围,又,从而可求出的值,进而确定,从而可求的面积;(2) 方程有两个不同的实数解,即函数()的图象和直线有两个不同的交点,为了便于画图象,可设,这样只需画的图象和即可,从图象观察,可得实数的取值范围. (1)由 即, 又因为,所以代入上式得,
由,得, 又,所以,且 5分 也所以,即,从而为正三角形, 所以 8分 (2)由(1)知,令, 则方程有两个不同的实数解等价于在上有两上不同实根,作出草图如右, 可知当或时,直线与曲线 有两个交点,符合题意,故实数的取值范围为 . 12分
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