市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律:该商品的价格每上涨x%(x>0),销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前

市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律:该商品的价格每上涨x%(x>0),销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前

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市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律:该商品的价格每上涨x%(x>0),销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前该商品定价为每个a元,统计其销售数量为b个.
(1)当k=时,该商品的价格上涨多少,才能使销售的总金额达到最大?
(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时k的取值范围.
答案
(1) ab.(2) 0<k<1
解析
由题意,价格上涨x%以后,销售总金额为y=a(1+x%)·b(1-kx%)= [-kx2+100(1-k)x+10000].
(1)当k=时,y= (-x2+50x+10000)= [22500-(x-50)2],
因此当x=50,即价格上涨50%时,y取最大值ab.
(2)y=[-kx2+100(1-k)x+10000],此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=.
在适当涨价的过程中,销售总金额不断增加,即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时,y也增大,因此 >0,解得0<k<1.
举一反三
设在海拔xm处的大气压强是yPa,y与x之间的函数关系为y=cekx,其中c、k为常量.已知某天的海平面的大气压为1.01×105Pa,1000m高空的大气压为0.90×105Pa,求600m高空的大气压强.(保留3位有效数字)
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我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中,发掘出的古莲子,至今大部分还能发芽开花,这些古莲子是多少年以前的遗物呢?要测定古物的年代,可用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性14C,动植物死亡后,停止了新陈代谢,14C不再产生,且原有的14C会自动衰变,经过5570年(叫做14C的半衰期),它的残余量只有原始量的一半,经过科学家测定知道,若14C的原始含量为a,则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′=a·e-kt).现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%,试推算古莲子的生活年代.
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已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
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经市场调查,某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数,且销售量近似地满足f(t)=-2t+200(1≤t≤50,t∈N),前30天价格为g(t)=t+30(1≤t≤30,t∈N),后20天价格为g(t)=45(31≤t≤50,t∈N).
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式;
(2)求日销售额S的最大值.
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如图,ABCD是正方形空地,边长为30m,电源在点P处,点P到边AD、AB距离分别为9m、3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF,MN∶NE=16∶9.线段MN必须过点P,端点M、N分别在边AD、AB上,设AN=x(m),液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2).
 
(1)用x的代数式表示AM;
(2)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域;
(3)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小?
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