设V为全体平面向量构成的集合,若映射f:V→R满足:对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f[λa+(1-λ)b]=λf

设V为全体平面向量构成的集合,若映射f:V→R满足:对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f[λa+(1-λ)b]=λf

题型:不详难度:来源:
V为全体平面向量构成的集合,若映射f
V→R满足:
对任意向量a=(x1y1)∈Vb=(x2y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f[λa+(1-λ)b]=λf(a)+(1-λ)f(b),则称映射f具有性质p.
现给出如下映射:
f1V→R,f1(m)=xym=(xy)∈V;
f2V→R,f2(m)=x2ym=(xy)∈V;
f3V→R,f3(m)=xy+1,m=(xy)∈V.
分析映射①②③是否具有性质p.
答案
①具有性质p②不具有性质p. ③具有性质p.
解析
a=(x1y1),b=(x2y2),
λa+(1-λ)b=(λx1+(1-λ)x2λy1+(1-λ)y2).
对于①,f1(m)=xy
f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]-[λy1+(1-λ)y2]
λ(x1y1)+(1-λ)(x2y2).
λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1y1)+(1-λ)(x2y2)
f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b).
∴①具有性质p.
对于②,f2(m)=x2y,设a=(0,0),b=(1,2),
λa+(1-λ)b=(1-λ,2(1-λ)),
f(λa+(1-λ)b)=(1-λ)2+2(1-λ)=λ2-4λ+3,
λf(a)+(1-λ)bλ(02+0)+(1-λ)(12+2)=3(1-λ).
λ∈R,∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b)不恒成立
故②不具有性质p.
对于③,f3(m)=xy+1,
f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]+[λy1+(1-λ)y2]+1
λ(x1y1)+(1-λ)(x2y2)+1,
λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1y1+1)+(1-λ)(x2y2+1)
λ(x1y1)+(1-λ)(x2y2)+λ+(1-λ)
λ(x1y1)+(1-λ)(x2y2)+1.
f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b)
③具有性质p.
举一反三
定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足(1)f(9)=2;(2)对∀ab∈(0,+
∞),有f(ab)=f(a)+f(b),则f=________.
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函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R)若f(a)=2,则f(-a)的值为 (  ).
A.3 B.0C.-1D.-2

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xy∈R,且4xy+4y2x+6=0,则x的取值范围是 (  )
A.-3≤x≤2B.-2≤x≤3
C.x≤-2或x≥3D.x≤-3或x≥2

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已知函数f(x)=x2-4,设曲线yf(x)在点(xnf(xn))
处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N),其中x1为正实数.
(1)用xn表示xn+1
(2)求证:对一切正整数nxn+1xn的充要条件是x1≥2;
(3)若x1=4,记an=lg ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式.
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下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________.(填序号)
① f(x)=x0,g(x)=
② f(x)=,g(x)=
③ f(x)=x2,g(x)=()4
④ f(x)=|x|,g(x)=
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