定义在R上的函数及二次函数满足:且。(1)求和的解析式;(2);(3)设,讨论方程的解的个数情况.

定义在R上的函数及二次函数满足:且。(1)求和的解析式;(2);(3)设,讨论方程的解的个数情况.

题型:不详难度:来源:
定义在R上的函数及二次函数满足:
(1)求的解析式;
(2)
(3)设,讨论方程的解的个数情况.
答案
(1),(2),(3)当时,方程有个解;
时,方程有个解;当时,方程有个解;当时,方程有个解.
解析

试题分析:(1)求函数解析式有不同的方法.满足可利用方程组求解,由解得: ,而为二次函数,其解析式应用待定系数法求解可设,再根据三个条件,列三个方程组解得,(2)不等式恒成立问题常转化为最值问题,本题转化为左边最小值不小于右边最大值,右边函数无参数,先根据导数求出其最大值,这样就转化为二次函数恒不小于零的问题,利用实根分布可得到充要条件所以(3)研究解的个数问题,需先研究函数图像,解方程,实际有两层,由解得;再由得两个解,由得三个解,结合这些解的大小,可得到原方程解得情况.
试题解析:(1) ,①

由①②联立解得: .               2分
是二次函数, 且,可设,
,解得.
.            4分
(2)设,
,
依题意知:当时,
,在上单调递减,
                6分
上单调递增,
解得:
实数的取值范围为.      9分
(3)设,由(2)知,
的图象如图所示:

,则
,即时, ,有两个解, 个解;
,即时, ,
个解;                      2分
,即时, ,个解;
,即时, ,个解.  13分
综上所述:
时,方程有个解;
时,方程有个解;
时,方程有个解;
时,方程有个解.              14分
举一反三
某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为:P=P0e-kt,(k,P0均为正的常数).若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么,至少还需( )时间过滤才可以排放.
A.小时B.小时C.5小时D.10小时

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若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λ∈R)使得f(xλ)+λf(x)=0对任意实数都成立,则称f(x)是一个“λ伴随函数”.下列关于“λ伴随函数”的结论:①f(x)=0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”;②f(x)=x不是“λ伴随函数”;③f(x)=x2是“λ伴随函数”;④“伴随函数”至少有一个零点.其中正确的结论个数是(  )
A.1 B.2C.3 D.4

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设函数f(x)=f(f(-4))=________.
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若函数在区间内有一个零点,则实数的取值可以是(   )
A.     B.   C.    D.

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某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:,其中是仪器的月产量.
(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
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