已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;(2)若对满足题设条件
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x). (1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2; (2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值. |
答案
(1)见解析(2) |
解析
(1)易知f′(x)=2x+b.由题设,对任意的x∈R,2x+b≤x2+bx+c,即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而c≥+1.于是c≥1, 且c≥2 =|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0. 故当x≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.即当x≥0时,f(x)≤(x+c)2. (2)由(1)知c≥|b|.当c>|b|时,有 M≥ 令t=,则-1<t<1,=2-. 而函数g(t)=2- (-1<t<1)的值域是. 因此,当c>|b|时,M的取值集合为. 当c=|b|时,由(1)知b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0,c2-b2=0,从而f(c)-f(b)≤ (c2-b2)恒成立. 综上所述,M的最小值为. |
举一反三
现有一张长为80 cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V(cm3)
(1)求出x与 y的关系式; (2)求该铁皮盒体积V的最大值. |
如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点). (1)写出a1,a2,a3; (2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式. |
对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k. (1)证明:f(3k)=3f(k); (2)求f(3k-1)(k∈N*)的值; (3)是否存在p个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的p值,若不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为( ) |
设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2-x)+f(x)=0成立.如果实数m,n满足不等式组则m2+n2的取值范围是( )A.(3,7) | B.(9,25) | C.(13,49) | D.(9,49) |
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