现有一张长为80 cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD的
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现有一张长为80 cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD的
题型:不详
难度:
来源:
现有一张长为80 cm,宽为60cm的长方形铁皮
ABCD
,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形
ABCD
的一个角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为
x
(cm),高为
y
(cm),体积为
V
(cm
3
)
(1)求出
x
与
y
的关系式;
(2)求该铁皮盒体积
V
的最大值.
答案
(1)
y
=
,0<
x
<60.(2)32000 cm
3
解析
(1)由题意得
x
2
+4
xy
=4 800,
即
y
=
,0<
x
<60.
(2)铁皮盒体积
V
(
x
)=
x
2
y
=
x
2
×
=-
x
3
+1 200
x
,
V
′(
x
)=-
x
2
+1200,令
V
′(
x
)=0,得
x
=40,因为
x
∈(0,40),
V
′(
x
)>0,
V
(
x
)是增函数;
x
∈(40,60),
V
′(
x
)<0,
V
(
x
)是减函数,所以
V
(
x
)=-
x
3
+1 200
x
,在
x
=40时取得极大值,也是最大值,其值为32 000 cm
3
.
所以该铁皮盒体积
V
的最大值是32000 cm
3
.
举一反三
如图,
P
1
(
x
1
,
y
1
),
P
2
(
x
2
,
y
2
),…,
P
n
(
x
n
,
y
n
)(0<
y
1
<
y
2
<…<
y
n
)是曲线
C
:
y
2
=3
x
(
y
≥0)上的
n
个点,点
A
i
(
a
i,
0)(
i
=1,2,3,…,
n
)在
x
轴的正半轴上,且△
A
i
-1
A
i
P
i
是正三角形(
A
0
是坐标原点).
(1)写出
a
1
,
a
2
,
a
3
;
(2)求出点
A
n
(
a
n,
0)(
n
∈N
*
)的横坐标
a
n
关于
n
的表达式.
题型:不详
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对于定义域为
A
的函数
f
(
x
),如果任意的
x
1
,
x
2
∈
A
,当
x
1
<
x
2
时,都有
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
),则称函数
f
(
x
)是
A
上的严格增函数;函数
f
(
k
)是定义在N
*
上,函数值也在N
*
中的严格增函数,并且满足条件
f
(
f
(
k
))=3
k
.
(1)证明:
f
(3
k
)=3
f
(
k
);
(2)求
f
(3
k
-1
)(
k
∈N
*
)的值;
(3)是否存在
p
个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的
p
值,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
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已知函数
f
(
x
)=
若函数
g
(
x
)=
f
(
x
)-
m
有三个不同的零点,则实数
m
的取值范围为( )
A.-
,1
B.-
,1
C.-
,0
D.-
,0
题型:不详
难度:
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设
f
(
x
)是定义在R上的增函数,且对于任意的
x
都有
f
(2-
x
)+
f
(
x
)=0成立.如果实数
m
,
n
满足不等式组
则
m
2
+
n
2
的取值范围是( )
A.(3,7)
B.(9,25)
C.(13,49)
D.(9,49)
题型:不详
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已知函数
f
(
x
)=2
x
+1,
x
∈N
*
.若∃
x
0
,
n
∈N
*
,使
f
(
x
0
)+
f
(
x
0
+1)+…+
f
(
x
0
+
n
)=63成立,则称(
x
0
,
n
)为函数
f
(
x
)的一个“生成点”.则函数
f
(
x
)的“生成点”共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
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