已知函数(a为常数)在x=1处的切线的斜率为1.(1)求实数a的值,并求函数的单调区间,(2)若不等式≥k在区间上恒成立,其中e为自然对数的底数,求实数k的取值

已知函数(a为常数)在x=1处的切线的斜率为1.(1)求实数a的值,并求函数的单调区间,(2)若不等式≥k在区间上恒成立,其中e为自然对数的底数,求实数k的取值

题型:不详难度:来源:
已知函数(a为常数)在x=1处的切线的斜率为1.
(1)求实数a的值,并求函数的单调区间,
(2)若不等式≥k在区间上恒成立,其中e为自然对数的底数,求实数k的取值范围.
答案
(1)的单调递增区间是的单调递减区间是;(2).
解析

试题分析:(1)先求,利用在处的导数就是此点处切线斜率,即,算出a,然后确定函数的定义域,利用的区间为函数的增区间,的区间为函数的减区间;(2)将不等式恒成立转化成,利用(1)的单调性,判断出上的最小值为,所以分别求出,然后比较得出最小值.即,此题考察利用导数研究函数性质,逻辑推理要严谨,此题属于中档题.
试题解析:(1)
由题知:,解得,.
,定义域
,由,得
时,,此时,上单调递减.
时,,此时,上单调递增.
综上:的单调递增区间是的单调递减区间是.
(2)由(1)知在上单调递增,在上单调递减.
上的最小值为

上的最小值为
上恒成立,则

举一反三
已知函数.
(1)解关于的不等式
(2)若在区间上恒成立,求实数的取值范围.
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某公司欲建连成片的网球场数座,用288万元购买土地20000平方米,每座球场的建筑面积为1000平方米,球场每平方米的平均建筑费用与所建的球场数有关,当该球场建n座时,每平方米的平均建筑费用表示,且(其中),又知建5座球场时,每平方米的平均建筑费用为400元.
(1)为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和),公司应建几座网球场?
(2)若球场每平方米的综合费用不超过820元,最多建几座网球场?
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已知函数的导函数的图象如图所示,则关于函数,下列说法正确的是  (    )
A.在处取得最大值B.在区间上是增函数
C.在区间上函数值均小于0D.在处取得极大值

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已知函数的图象在点(e为自然对数的底数)处取得极值-1.
(1)求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围.
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定义:,已知数列满足:,若对任意正整数,都有成立,则的值为(   )
A.B.C.D.

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