已知,为其反函数.(Ⅰ)说明函数与图象的关系(只写出结论即可);(Ⅱ)证明的图象恒在的图象的上方;(Ⅲ)设直线与、均相切,切点分别为()、(),且,求证:.
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已知,为其反函数.(Ⅰ)说明函数与图象的关系(只写出结论即可);(Ⅱ)证明的图象恒在的图象的上方;(Ⅲ)设直线与、均相切,切点分别为()、(),且,求证:.
题型:不详
难度:
来源:
已知
,
为其反函数.
(Ⅰ)说明函数
与
图象的关系(只写出结论即可);
(Ⅱ)证明
的图象恒在
的图象的上方;
(Ⅲ)设直线
与
、
均相切,切点分别为(
)、(
),且
,求证:
.
答案
(Ⅰ) 关于直线
对称;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
解析
试题分析:(Ⅰ)原函数与其反函数的图像关于直线
对称;(Ⅱ)先求出反函数的解析式:
,引入中间函数
.先构造函数
,利用函数的单调性与导数的关系,求得函数的最小值是
,找到关系
;再构造函数
,利用函数的单调性与导数的关系,求得函数的最小值是
,找到关系
.从而证得“
的图象恒在
的图象的上方”;(Ⅲ)先求出
以及
,根据导数与切线方程的关系,由斜率不变得到
,再根据两点间的斜率公式得到
.首先由指数函数的性质可得
,那么
,然后由
得到
,解得
.
试题解析:(Ⅰ)
与
的图象关于直线
对称. 2分
(Ⅱ)
,设
, 4分
令
,
,
令
,解得
,
当
时
,当
时
;
∴当
时,
,
∴
. 6分
令
,
,
令
,解得
;
当
时,
,当
时,
,
∴当
时,
,
∴
. 8分
∴
的图象恒在
的图象的上方. 9分
(Ⅲ)
,
,切点的坐标分别为
,可得方程组:
11分
∵
,
∴
,∴
,
∴
. 12分
由②得,
,∴
, 13分
∵
,∴
,∴
,即
,
∴
. 14分
举一反三
相关部门对跳水运动员进行达标定级考核,动作自选,并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标,成绩在九分及以上的定为一级运动员. 已知参加此次考核的共有56名运动员.
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(2)经过考核,决定从其中的A、B、C、D、E五名一级运动员中任选2名参加跳水比赛(这五位运动员每位被选中的可能性相同). 写出所有可能情况,并求运动员E被选中的概率.
题型:不详
难度:
|
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对于函数
若存在
,使得
成立,则称
为
的不动点.
已知
(1)当
时,求函数
的不动点;
(2)若对任意实数
,函数
恒有两个相异的不动点,求
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若
图象上
、
两点的横坐标是函数
的不动点,且
、
两点关于直线
对称,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2m
2
的正四棱锥形有盖容器(如下图)。设容器高为
m,盖子边长为
m,
(1)求
关于
的解析式;
(2)设容器的容积为V m
3
,则当h为何值时,V最大? 并求出V的最大值(求解本题时,不计容器厚度).
题型:不详
难度:
|
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(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
题型:不详
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|
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方程
的解
属于区间( )
A.(0,1)
B.(1,2)
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D.(3,4)
题型:不详
难度:
|
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