试题分析:(Ⅰ) ,. 2分 令,则. 3分 当变化时,,的变化情况如下表: 所以的单调增区间是,单调减区间是. .. ...4分 (Ⅱ) 当时,, 由(Ⅰ)知,在单调递增,在单调递减. 5分 令. ...6分 由于在单调递增,则,因而. 7分 取,则, ...8分 所以存在,使,即存在,使. 9分 (Ⅲ) 由及的单调性知. 10分 从而在区间上的最小值为.又由,,则
. 11分 所以 12分 即 13分 所以 . 14分 点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。本题采用“表解法”,清晰明了。涉及不等式证明问题,往往要转化成研究函数的最值,通过构建a的不等式组,求得a的范围。本题涉及对数函数,要注意函数的定义域。 |