建造一断面为等腰梯形的防洪堤(如图),梯形的腰与底边所角为60°,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为m2,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省
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建造一断面为等腰梯形的防洪堤(如图),梯形的腰与底边所角为60°,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为m2,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省
题型:不详
难度:
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建造一断面为等腰梯形的防洪堤(如图),梯形的腰与底边所角为60°,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为
m
2
,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,要求断面的外周长(梯形的上底BC与两腰长的和)最小.如何设计防洪堤,才能使水泥用料最省.
答案
上面宽BC=
m时,断面的外周长最小,水泥用料最省
解析
试题分析:如图,自B作
于H.
设AH = x,断面的外周长为y.
在Rt△AHB中,因为
60°,
所以AB = 2x,BH =
.
于是梯形ABCD的面积S =
,
所以
,解得
. 6分
由
解得
. 8分
,
当且仅当
即
时取“=”号. 14分
故当
m即上面宽BC=
m时,断面的外周长最小,水泥用料最省.…16分
点评:求解本题的关键在于首先找到面积与一边长的函数关系式,但要结合实际问题注意函数的定义域在实际问题中的限定条件
举一反三
设
是定义在
上的函数,当
,且
时,有
.
(1)证明
是奇函数;
(2)当
时,
(a为实数). 则当
时,求
的解析式;
(3)在(2)的条件下,当
时,试判断
在
上的单调性,并证明你的结论.
题型:不详
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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2
x
.
(1)求f(log
2
)的值;
(2)求f(x)的解析式.
题型:不详
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已知函数
,
(1)若函数
在
处的切线方程为
,求实数
的值;
(2)若
在其定义域内单调递增,求
的取值范围.
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已知函数
的定义域为
,当
时,
,且对于任意的
,恒有
成立.
(1)求
;
(2)证明:函数
在
上单调递增;
(3)当
时,
①解不等式
;
②求函数
在
上的值域.
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