(本小题满分12分)已知:函数y=f (x)的定义域为R,且对于任意的a,b∈R,都有f (a+b)=f (a)+f (b),且当x>0时,f (x)<0恒成立
题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分) 已知:函数y=f (x)的定义域为R,且对于任意的a,b∈R,都有f (a+b)=f (a)+f (b),且当x>0时,f (x)<0恒成立. 证明:(1)函数y=f (x)是R上的减函数. (2)函数y=f (x)是奇函数. |
答案
(1)见解析;(2)见解析。 |
解析
试题分析:(1)设x1>x2,则x1-x2>0,而f (a+b)=f (a)+f (b), 所以f (x1)=f (x1-x2+x2)=f (x1-x2)+f (x2)<f (x2), 即f (x1)<f (x2),所以函数在R上是减函数. ……6分 (2)由f (a+b)=f (a)+f (b)得:f (x-x)=f (x)+f (-x),即f (x)+f (-x)=f (0),而f (0)=0, 所以f (-x)=-f (x),即函数f (x)是奇函数. ……12分 点评:本题以抽象函数的单调性证明为载体考查了函数的奇偶性的定义,其中利用“凑配法”得到f(0)=0及f(-x)=-f(x)是解答的关键. |
举一反三
(本小题满分12分) 设函数f (x)=,其中a∈R. (1)若a=1,f (x)的定义域为[0,3],求f (x)的最大值和最小值. (2)若函数f (x)的定义域为区间(0,+∞),求a的取值范围使f (x)在定义域内是单调减函数. |
(本小题满分12分) 某商品在近30天内每天的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式为: P=;该商品的日销售量Q(件)与时间(天)的函数关系式为: Q=-t+40(0<t≤30,t∈N*).求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天? |
已知,则= |
(12分) 已知函数。 (1)求函数y=的零点; (2) 若y=的定义域为[3,9], 求的最大值与最小值。 |
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