(本题满分12分)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:①x>1时,f(x)<0,②f()=1,③对任意x,y( 0,+∞),都有f(xy)= f(x)+

(本题满分12分)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:①x>1时,f(x)<0,②f()=1,③对任意x,y( 0,+∞),都有f(xy)= f(x)+

题型:不详难度:来源:
(本题满分12分)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:
①x>1时,f(x)<0,②f()=1,③对任意x,y( 0,+∞),
都有f(xy)= f(x)+ f(y),求不等式f(x)+ f(5-x)≥-2的解集。
答案

解析

试题分析:(1)构造函数中两个任意变量的函数值差,结合函数表达式得到函数单调性的证明。
(2)结合特殊值的函数值,得到f(4)=-2,进而得到函数的不等式的求解。
解:设0<x1<x2,则>1,∵f(xy)= f(x)+ f(y)
∴f(x2)= f()= f()+ f(x1
又∵x>1时,f(x)<0,∴f()<0
∴f(x2)<f(x1),∴f(x)是( 0,+∞)上的减函数。又∵f(1)= f(1)+ f(1)
∴f(1)=0,而f()=1,∴f(2)= f(2)+ f()=0
∴f(2)=-1,∴f(x)+ f(5-x)≥-2="2" f(2)= f(4)
,∴0<x≤1,或4≤x<5
∴原不等式的解集是
点评:解决该试题的关键是能利用已知条件分析得到函数的单调性的证明,结合已知的关系式将所求的表示为一个整体函数式,同时能结合单调性得到求解。
举一反三
(本小题满分12分)
已知  
(1)求的值;
(2)当(其中,且为常数)时,是否存在最小值,如果存在求出最小值;如
果不存在,请说明理由;
(3)当时,求满足不等式的范围.
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(本题满分12分)已知函数y=的定义域为R,解关于x的不等式
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函数的定义域为
A.B.C.D.

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下列各组函数中,表示同一函数的是
A.
B.,
C.=
D.=×=

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已知函数的最大值为,最小值为
的值为            .
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