(本小题满分14分)已知(Ⅰ)求;(Ⅱ)判断并证明的奇偶性与单调性;(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围。
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(本小题满分14分)已知(Ⅰ)求;(Ⅱ)判断并证明的奇偶性与单调性;(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围。
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)
已知
(Ⅰ)求
;
(Ⅱ)判断并证明
的奇偶性与单调性;
(Ⅲ)若对任意的
,不等式
恒成立,求
的取值范围。
答案
(1)则
;(2)函数
为奇函数。证明见解析。
(3)
.
解析
试题分析:(1)利用换元法:令t=log
a
x⇒x=a
t
,代入可得f(t)从而可得函数f(x)的解析式
(2)由(1)得f(x)定义域为R,可求函数的定义域,先证奇偶性:代入f(-x)=-f(x),从而可得函数为奇函数。再证单调性:利用定义任取x
1
<x
2
,利用作差比较f(x
1
)-f(x
2
)的正负,从而确当f(x
1
)与f(x
2
)的大小,进而判断函数的单调性
(3)根据上面的单调性的证明以及定义域得到不等式的求解。
解:(1)令
则
………3分
(2)
∴函数
为奇函数。 ………5分
当
,任取
-
=
=
=
,
类似可证明当
,综上,无论
,
上都是增函数。 ………9分
(3)不等式化为
∵
上都是增函数,∴
恒成立
即
对
恒成立,∴
故
的取值范围
. ………14分
点评:解题的关键是利用奇偶性的定义③利用定义判断函数单调性的步骤(i)任设x
1
<x
2
(也可x
1
>x
2
)(ii)作差f(x
1
)-f(x
2
)(iii)定号,给出结论.
举一反三
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题型:不详
难度:
|
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下列函数
中,满足对任意
,
(0,
)且
,都有
的是 ( )
A.
=
B.
=
C.
=
D.
题型:不详
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|
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A.10
B.16
C.18
D.32
题型:不详
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|
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函数
的值域是
.
题型:不详
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(本小题满分12分)已知函数
,
(I)求函数
的定义域;
(II)若函数
,求
的值;
(III)若函数
的最小值为
,求
的值.
题型:不详
难度:
|
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