解(1)∵![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200205/20200205062237-37895.png)
, ∴ . ∴函数 的图像可由 的图像按如下方式变换得到: ①将函数 的图像向右平移 个单位,得到函数 的图像; ②将函数 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 的图像; ③将函数 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数 的图像. (2)(理科)由(1)知, , ∴ . 又对任意 ,有 , ∴函数 是偶函数. ∵ , ∴ 是周期函数, 是它的一个周期. 现用反证法证明 是函数 的最小正周期。 反证法:假设 不是函数 的最小正周期,设 是 的最小正周期. 则 ,即 . 令 ,得 ,两边平方后化简,得 ,这与 ( )矛盾.因此,假设不成立. 所以,函数 的最小正周期是 . (3)(理科)先求函数 在一个周期 内的单调区间和函数值的取值范围。 当 时, ,且 . 易知,此时函数 的单调增区间是 ,单调减区间是 ; 函数的取值范围是 . 因此,依据周期函数的性质,可知函数 的单调增区间是
;单调减区间是 ; 函数 的值域是 . |