已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln x+m.(1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);(2)是否存在实数m使得y=f(x)的图象与y
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已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6ln x+m. (1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); (2)是否存在实数m使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. |
答案
解:(1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. 当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;当t≤4≤t+1即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16; 当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减, h(t)=f(t)=-t2+8t. 综上,h(t)= (2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数Φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵Φ(x)=x2-8x+6ln x+m, ∴Φ′(x)=2x-8+= = (x>0) 当x∈(0, 1)时,Φ′(x)>0,Φ(x)是增函数; 当x∈(1,3)时,Φ′(x)<0,Φ(x)是减函数; 当x∈(3,+∞)时,Φ′(x)>0,Φ(x)是增函数; 当x=1或x=3时,Φ′(x)=0. ∴Φ(x)极大值=Φ(1)=m-7, Φ(x)极小值=Φ(3)=m+6ln 3-15. ∵当x充分接近0时,Φ(x)<0,当x充分大时,Φ(x)>0 ∴要使Φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
即7<m<15-6ln 3. 所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln 3) |
解析
略 |
举一反三
某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析其利润(单位10万元)与运营年数为二次函数关系(图象如下图),则每辆车运营年数___________时,其平均年利润最大。
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已知函数。 (I)当时,解不等式; (II)求的最大值。 |
我市某旅行社组团参加衡水湖湿地一日游,预测每天游客人数在40至100人之间,游客人数(人)与游客的消费总额(元)之间近似地满足关系: .那么游客的人均消费额最高为( )元. ( ) A.40 B.50 C.60 D.80 |
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