(Ⅰ)设 ∴ ………………………………2分 (Ⅱ)∵c=2 ∴b=2 ∴, 由已知可得2Sn=an-an2且an≠1.……①, 当n≥2时,2 Sn -1=an-1-an-12 ……②, ①-②得(an+an-1)( an-an-1+1)=0,∴an=-an-1 或 an=-an-1 =-1, 当n=1时,2a1=a1-a12a1=-1, 若an=-an-1,则a2=1与an≠1矛盾.∴an-an-1=-1, ∴an=-n.………………4分 ∴要证待证不等式,只要证 , 即证 , 只要证 ,即证 . 考虑证不等式(x>0) **.……………………………………………6分 令g(x)=x-ln(1+x), h(x)=ln(x+1)- (x>0) . ∴g "(x)=, h "(x)=, ∵x>0, ∴g "(x)>0, h "(x)>0,∴g(x)、h(x)在(0, +∞)上都是增函数, ∴g(x)>g(0)=0, h(x)>h(0)=0,∴x>0时,. 令则**式成立,∴<<,……………………………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知bn=,则Tn=. 在中,令n=1,2,3,……,2008,并将各式相加, 得, 即T2009-1<ln2009<T2008.…………………………………………………………………12分 |