已知正项数列的前项和,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)定理:若函数在区间D上是凹函数,且存在,则当时,总有.请根据上述定理,且已知函数是上的凹函数,判断与的大小
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已知正项数列的前项和,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)定理:若函数在区间D上是凹函数,且存在,则当时,总有.请根据上述定理,且已知函数是上的凹函数,判断与的大小
题型:不详
难度:
来源:
已知正项数列
的前
项和
,
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)定理:若函数
在区间D上是凹函数,且
存在,则当
时,总有
.请根据上述定理,且已知函数
是
上的凹函数,判断
与
的大小;
(Ⅲ)求证:
.
答案
(Ⅰ)
(
).
(Ⅱ)
.
(Ⅲ)由(Ⅱ),得
.
解析
(Ⅰ)
时,
或
.
由于
是正项数列,所以
.
当
时,
,
整理,得
.
由于
是正项数列,∴
.
∴数列
是以1为首项,1为公差的等差数列.
从而
,当
时也满足.
∴
(
).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
.
对于
上的凹函数
,有
.
根据定理,得
.
整理,得
.
令
,得
.
∴
,即
.
∴
.
(Ⅲ)由(Ⅱ),得
.
举一反三
已知函数
(Ⅰ)求证:函数
上是增函数.
(Ⅱ)若
上恒成立,求实数a的取值范围.
(Ⅲ)若函数
上的值域是
,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
的定义域为R,对任意的
都满足
,当
时,
.
(1)判断并证明
的单调性和奇偶性;
(2)是否存在这样的实数m,当
时,使不等式
对所有
恒成立,如存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(其中
且
)
(I)求函数f(x)的反函数
(II)设
,求函数g(x)最小值及相应的x值;
(III)若不等式
对于区间
上的每一个x值都成立,求实数m的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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设a>0,函数f(x)=
-ax在[1,+∞)上是单调函数.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设
≥1,f(x)≥1,且f(f(
))=
,求证:f(
)=
.
题型:不详
难度:
|
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已知
,
,3].
(1)求f(x);
(2)求
;
(3)在f(x)与
的公共定义域上,解不等式f(x)>
+
.
题型:不详
难度:
|
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