已知函数f(x)= +lnx的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y="x" ,设. (1)求证:当恒成立;(2)试讨论关于的方程: 根的个数.
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已知函数f(x)= +lnx的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y="x" ,设. (1)求证:当恒成立;(2)试讨论关于的方程: 根的个数.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
+lnx的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y="x" ,
设
.
(1)求证:当
恒成立;
(2)试讨论关于
的方程:
根的个数.
答案
(1)
对于
恒成立.
(2)①当
时,方程无解.
②当
时,方程有一个根.
③当
时,方程有两个根.
解析
1)由k=
得m=1
∴f(m)=1=n+0,n=1
∴
.
∴
,
∴
在
是单调增函数,
∴
对于
恒成立.
(2)方程
,∴
.
∵
,∴ 方程为
.
令
,
,当
上为增函数;
上为减函数,
当
时,
,
∴
、
在同一坐标系的大致图象如图所示,
∴①当
时,方程无解.
②当
时,方程有一个根.
③当
时,方程有两个根.
举一反三
(本小题满分15分)某生产旅游纪念品的工厂,拟在2010年度将进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念品的年销售量
x
万件与年促销费用
t
万元之间满足3-
x
与
t
+1成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件.已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元,每生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为:“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每
件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用)(1)求出
x
与
t
所满足的关系式;(2)请把该工厂2010年的年利润
y
万元表示成促销费
t
万元的函数;(3)试问:当2010年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,函数
的图象与
的图象关于点
中心对称。
(1)求函数
的解析式;
(2)如果
,
,试求出使
成立的
取值范围;
(3)是否存在区间
,使
对于区间内的任意实数
,只要
,且
时,都有
恒成立?
题型:不详
难度:
|
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已知函数:
(Ⅰ)证明:f(x)+2+f(2a-x)=0对定义域内的所有x都成立.
(Ⅱ)当f(x)的定义域为[a+
,a+1]时,求证:f(x)的值域为[-3,-2];
(Ⅲ)设函数g(x)=x
2
+|(x-a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 .
题型:不详
难度:
|
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设
是定义在
上的函数,若存在
,使得
在
上单调递增,在
上单调递减,则称
为
上的单峰函数,
为峰点,包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的
上的单峰函数
,下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(1)证明:对任意的
,
,若
,则
为含峰区间;若
,则
为含峰区间;
(2)对给定的
,证明:存在
,满足
,使得由(1)所确定的含峰区间的长度不大于
;
题型:不详
难度:
|
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定义在区间(0,
)上的函f(x)满足:(1)f(x)不恒为零;(2)对任何实数x、q,都有
.
(1)求证:方程f(x)=0有且只有一个实根;
(2)若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列,求证:
;
(3)(本小题只理科做)若f(x) 单调递增,且m>n>0时,有
,求证:
题型:不详
难度:
|
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