设是定义在上的函数,若存在,使得在上单调递增,在上单调递减,则称为上的单峰函数,为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.  对任意的上的单峰函数,下面研究缩短其含峰

设是定义在上的函数,若存在,使得在上单调递增,在上单调递减,则称为上的单峰函数,为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.  对任意的上的单峰函数,下面研究缩短其含峰

题型:不详难度:来源:
是定义在上的函数,若存在,使得上单调递增,在上单调递减,则称上的单峰函数,为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.  对任意的上的单峰函数,下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(1)证明:对任意的,若,则为含峰区间;若,则为含峰区间;
(2)对给定的,证明:存在,满足,使得由(1)所确定的含峰区间的长度不大于
答案
证明见解析
解析
(1)证明:设的峰点,则由单峰函数定义可知, 上单调递增, 在上单调递减,
时,假设,则<,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间.
时,假设,则,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间………………………….(7分)
(2)证明:由(1)的结论可知:
时, 含峰区间的长度为
时, 含峰区间的长度为
对于上述两种情况,由题意得              ①
由①得
又因为,所以                    ②
将②代入①得                   ③
由①和③解得
所以这时含峰区间的长度
即存在使得所确定的含峰区间的长度不大于
举一反三
定义在区间(0,)上的函f(x)满足:(1)f(x)不恒为零;(2)对任何实数x、q,都有.
(1)求证:方程f(x)=0有且只有一个实根;
(2)若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列,求证:
(3)(本小题只理科做)若f(x) 单调递增,且m>n>0时,有,求证:
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已知函数).
(1) 试就实数的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2) 已知当时,函数在上单调递减,在上单调递增,求的值并写出函数的解析式;
(3) (理)记(2)中的函数的图像为曲线,试问是否存在经过原点的直线,使得为曲线的对称轴?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.
(文) 记(2)中的函数的图像为曲线,试问曲线是否为中心对称图形?若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.
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已知函数 的图象在处的切线互相平行.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ)设,当时,恒成立,求的取值范围.
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是定义域在上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.
(l)求证上是减函数;
(ll)如果的定义域的交集为空集,求实数的取值范围;
(lll)证明若,则存在公共的定义域,并求这个公共的空义域.
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已知正项数列的前项和
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)定理:若函数在区间D上是凹函数,且存在,则当时,总有.请根据上述定理,且已知函数上的凹函数,判断的大小;
(Ⅲ)求证:
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