已知f(x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；⑵对数列x1

题型：不详难度：来源：

已知f(x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()
⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；
⑵对数列x₁＝，x_n＋1＝，求f(x_n);
⑶求证

答案

见解析

解析

(Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0
令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0
∴f(x)＋f(－x)＝0  ∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)为奇函数  4分
(Ⅱ)解：f(x₁)＝f()＝－1，f(x_n＋1)＝f()＝f()＝f(x_n)＋f(x_n)＝2f(x_n)
∴＝2即{f(x_n)}是以－1为首项，2为公比的等比数列
∴f(x_n)＝－2^n－1
(Ⅲ)解：
 
而
∴