(本题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．

题型：不详难度：来源：

(本题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
(1)写出υ关于ω的函数关系式；(2)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；(3)试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率 =  ×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)

答案

(Ⅰ)v =6000ω²  (Ⅱ) 37.5％．（Ⅲ）重量比为1∶1

解析

(1)依题意设v=kω²，……2分
又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，…3分 故v =6000ω²．……4分
(2)设这颗钻石的重量为a克拉，由(1)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为
6000(a)²+6000(a)²． 6分 价值损失为6000a一[6000(a)²+6000(a)²]．…7分
价值损失的百分率为
答：价值损失的百分率为37.5％．…8分
(3)若把一颗钻石按重量比为m∶n切割成两颗，价值损失的百分率应为
，…10分又，…11分
等号当且仅当m=n时成立.即重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大．… 12分