设a、b为常数,M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,x∈R};F:把平面上任意一点(a,b)映射为函数acosx+bsinx.(1)证明:对F不存
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设a、b为常数,M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,x∈R};F:把平面上任意一点(a,b)映射为函数acosx+bsinx. (1)证明:对F不存在两个不同点对应于同一个函数; (2)证明:当f0(x)∈M时,f1(x)=f0(x+t)∈M,这里t为常数; (3)对于属于M的一个固定值f0(x),得M1={f0(x+t)|t∈R},若映射F的作用下点(m,n)的象属于M1,问:由所有符合条件的点(m,n)构成的图形是什么? |
答案
(1)证明:假设有两个不同的点(a,b),(c,d)对应同一函数, 即F(a,b)=acosx+bsinx与F(c,d)=ccosx+dsinx相同, 即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立. 特别令x=0,得a=c; 令x=,得b=d. 这与(a,b),(c,d)是两个不同点矛盾, 假设不成立. 故不存在两个不同点对应同函数. (2)当f0(x)∈M时, 可得常数aa0,b0,使f0(x)=a0cosx+b0sinx, f1(x)=f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t) =(a0cost+b0sint)+(b0cost-a0sint)sinx. 由于a0,b0,t为常数, 设a0cost+b0sint=m,b0cost-a0sint=n, 则m,n是常数. 从而f1(x)=f0(x+t)∈M. (3)设f0(x)∈M, 由此得f0(x+t)=mcosx+nsinx, (其中m=a0cost+b0sint,n=b0cost-a0sint) 在映射F下,f0(x+t)的原象是(m,n), 则M1的原象是 {(m,n)|m=a0cost+b0sint,n=b0cost-a0sint,t∈R}, 消去t得m2+n2=a02+b02, 即在映射F下,M1的原象{(m,n)|m2+n2=a02+b02}是以原点为圆心,为半径的圆. |
举一反三
已知x∈Q时,f(x)=1;x为无理数时,f(x)=0;我们知道函数表示法有三种:①列表法,②图象法,③解析法,那么该函数y=f(x)不能用______表示. |
已知f是集合M={a,b,c,d}到集合N={0,1,2}的映射,f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有______. |
已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是从A到B的映射. (1)若B中每一元素都有原象,这样不同的f有多少个? (2)若B中的元素0必无原象,这样的f有多少个? (3)若f满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的f又有多少个? |
已知,则的值等于 . |
若函数的图象过点(2,1),则函数的图象一定过点( ) |
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