已知函数f(x)=1+2x,数列{xn}满足x1=117,xn+1=f(xn);若bn=1xn-2+13.(1)求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;(2

已知函数f(x)=1+2x,数列{xn}满足x1=117,xn+1=f(xn);若bn=1xn-2+13.(1)求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;(2

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=1+
2
x
,数列{xn}满足x1=
11
7
,xn+1=f(xn);若bn=
1
xn-2
+
1
3

(1)求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若cn=3n-λbn(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.
答案
(1)由已知,xn+1=
xn+2
xn

bn+1
bn
=
1
xn+1-2
+
1
3
1
xn-2
+
1
3
=
1
xn+2
xn
-2
+
1
3
1
xn-2
+
1
3
=-2,(4分)
∴{bn}是等比数列,且q=-2;又b1=
1
x1-2
+
1
3
=-2
,∴bn=(-2)n.(6分)
(2)要使cn+1>cn恒成立,
即要cn+1-cn=[3n+1-λ(-2)n+1]-[3n-λ(-2)n]=2•3n+3λ(-2)n>0恒成立,
即要(-1)n•λ>-(
3
2
)n-1
恒成立.下面分n为奇数、n为偶数讨论:(8分)
①当n为奇数时,即λ<(
3
2
)n-1
恒成立.又(
3
2
)n-1
的最小值为1.∴λ<1.
②当n为偶数时,即λ>-(
3
2
)n-1
恒成立,又-(
3
2
)n-1
的最大值为-
3
2
,∴λ>-
3
2

综上,-
3
2
<λ<1
,又λ为非零整数,
∴λ=-1时,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.(14分)
举一反三
已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且φ(
1
3
)
=16,φ(1)=8,则φ(x)的表达式为______
题型:不详难度:| 查看答案
某个QQ群中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏,这些同学依次编号为1,2,3,…,n.在哈哈镜中,每个同学看到的像用数对(p,q)(p<q)表示,规则如下:若编号为k的同学看到像为(p,q),则编号为k+1的同学看到像为(q,r),且q-p=k(p,q,r∈N*).已知编号为1的同学看到的像为(5,6).请根据以上规律,编号为3和n的同学看到的像分别是(  )
A.(7,10);(n+4,2n+4)
B.(10,13);(
n2+n+8
2
n2+3n+8
2
)
C.(10,13);(
n2+2n+5
2
n2+4n+5
2
)
D.(8,11);(
n2-n+10
2
n2+n+10
2
)
题型:上海模拟难度:| 查看答案
已知集合A={(x,y)|y=f(x),x∈[0,4]},B={(x,y}|x=1,x∈R},则A∩B中元素有(  )
A.0个B.1个C.0个或1个D.至少2个
题型:安庆二模难度:| 查看答案
在下列从A到B的对应:
(1)A=R,B=R,对应法则f:x→y=x2; 
(2)A=R,B=R,对应法则f:x→y=
1
x-3
; 
(3)A=(0,+∞),B={y|y≠0},对应法则f:x→y=±


x

(4)A=N*,B={-1,1},对应法则f:x→y=(-1)x.其中是函数的有______.(只填写序号)
题型:不详难度:| 查看答案
设集合A={x|0≤x≤1},B={x|0≤x≤2},下面的对应中,是从A到B的函数的是(  )
A.f:x→3xB.f:x→x2C.f:x→±


x
D.f:x→2.5
题型:不详难度:| 查看答案
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