设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λ

题型：四川难度：来源：

设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；
③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命题是______（写出所有真命题的编号）

答案

①：令λ=μ=1，则f（

a

+

b

）=f（

a

）+f（

b

）故①是真命题，
同理，④：令λ=k，μ=0，则f（k

a

）=kf（

a

）故④是真命题，
③：∵f（

a

）=-

a

，则有f（

b

）=-

b

，
f（λ

a

+μ

b

）=-（λ

a

+μ

b

）=λ•（-

a

）+μ•（-

b

）=λf

a

）+μf（

b

）是线性变换，
故③是真命题，
②：由f（

a

）=

a

+

e

，则有f（

b

）=

b

+

e

，
f（λ

a

+μ

b

）=（λ

a

+μ

b

）+

e

=λ•（

a

+

e

）+μ•（

b

+

e

）-

e

=λf（

a

）+μf（

b

）-

e

∵

e

是单位向量，

e

≠

0

，故②是假命题
故答案为①③④．