对于定义在区间D上的函数f(x),若存在闭区间[a,b]D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∈[a,b]时,f(

对于定义在区间D上的函数f(x),若存在闭区间[a,b]D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∈[a,b]时,f(

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对于定义在区间D上的函数f(x),若存在闭区间[a,b]D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∈[a,b]时,f(x2)>c恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平底型”函数.
(1)判断f1(x)=|x﹣1|+|x﹣2|和f2(x)=x+|x﹣2|是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;
(2)若函数是区间[﹣2,+∞)上的“平底型”函数,求m和n的值.
答案
解:(1)对于函数f1(x)=|x﹣1|+|x﹣2|,当x∈[1,2]时,f1(x)=1.
当x<1或x>2时,f1(x)>|(x﹣1)﹣(x﹣2)|=1恒成立,
故f1(x)是“平底型”函数.
对于函数f2(x)=x+|x﹣2|,当x∈(﹣∞,2]时,f2(x)=2;
当x∈(2,+∞)时, f2(x)=2x﹣2>2.
所以不存在闭区间[a,b],使当x∈[a,b]时,f(x)>2恒成立.
故f2(x)不是“平底型”函数;
(2)由“平底型”函数定义知,存在闭区间[a,b][﹣2,+∞)和常数c,使得对任意的
x∈[a,b], 都有g(x)=mx+=c,即=c﹣mx 所
以x2+2x+n=(c﹣mx)2恒成立,即x2+2x+n=m2x2﹣2cmx+c2对任意的x∈[a,b]成立
所以
所以
①当时,g(x)=x+|x+1|.
当x∈[﹣2,﹣1]时,g(x)=﹣1,当x∈(﹣1,+∞)时,g(x)=2x+1>﹣1恒成立.
此时,g(x)是区间[﹣2,+∞)上的“平底型”函数
②当时,g(x)=﹣x+|x+1|. 当x∈[﹣2,﹣1]时,g(x)=﹣2x﹣1≥1,
当x∈(﹣1,+∞)时,g(x)=1.
此时,g(x)不是区间[﹣2,+∞)上的“平底型”函数.
综上分析,m=1,n=1为所求
举一反三
集合A={a,b,c},B={﹣1,0,1},映射f:A→B满足f(a)﹣f(b)=f(c)那么映射f:A→B的个数是(    )。
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已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是(    )。填序号)①;  ②;  ③; ④
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下列四组中的函数f(x)与g(x)表示相同函数的是 _________ .(填序号)①; ②
;  ④
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函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,
有f(x1● x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x﹣6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
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在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N+)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数.有下列函数:
①f(x)=sin2x;②g(x)=x3;③;④φ(x)=lnx.
其中是一阶整点函数的是[     ]
A.①②③④
B.①③④
C.①④
D.④
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