已知函数(1)它是奇函数还是偶函数?并给出证明.(2)它的图象具有怎样的对称性？(3)它在上是增函数还是减函数?并用定义证明.

题型：不详难度：来源：

已知函数
(1)它是奇函数还是偶函数?并给出证明.
(2)它的图象具有怎样的对称性？
(3)它在上是增函数还是减函数?并用定义证明.

答案

（1）奇函数；（2）图象关于原点对称；（3）在上是增函数 。

解析

试题分析：（1）因为x≠0，且，故函数f（x）为奇函数。（2）图象关于原点对称。（3）在上是增函数  证明如下：设是上的任意两个实数，且，则．，，，，即．故函数在上为增函数．
点评：函数的单调性一般是先根据图象作出判断，再利用定义证明．利用定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤是：（1）取值．任取，且；（2）作差变形．作差，并通过分解因式、通分、配方、有理化等手段，向用利于判断差的符号的方向变形；（3）判断符号．由已知条件，确定差的符号；（4）下结论．即指出函数在区间上是增函数还是减函数．