设函数y=f(x)的图象是曲线C1,曲线C2与C1关于直线y=x对称.将曲线C2向右平移1个单位得到曲线C3,已知曲线C3是函数y=log2x的图象.(I)求函

设函数y=f(x)的图象是曲线C1,曲线C2与C1关于直线y=x对称.将曲线C2向右平移1个单位得到曲线C3,已知曲线C3是函数y=log2x的图象.(I)求函

题型:南京二模难度:来源:
设函数y=f(x)的图象是曲线C1,曲线C2与C1关于直线y=x对称.将曲线C2向右平移1个单位得到曲线C3,已知曲线C3是函数y=log2x的图象.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)设an=nf(x)(n∈N*),求数列{an}的前n项和Sn,并求最小的正实数t,使Sn<tan对任意n∈N*都成立.
答案
(I)由题意知,曲线C3向左平移1个单位得到曲线C2,∴曲线C2是函数y=log2(x+1)的图象.…(2分)
曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称,∴曲线C2是函数y=log2(x+1)的反函数的图象y=log2(x+1)的反函数为y=2x-1
∴f(x)=2x-1…(4分)
(II)由题设:an=n×2n-n,n∈N*Sn=(1×21-1)+(2×22-2)+(3×23-3)+…+(n•2n-n)=(1×21+2×22+3×2
2+…+n×2n)-(1+2+3+…+n)…(6分)=(1×21+2×22+3×22+…+n×2n)-
n(n+1)
2
=(1×21+2×22+3×23+…+n×2n)-
n(n+1)
2

2Sn=(1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1)-n(n+1)②
由②-①得,Sn=-(21+22+23+…+2n)+n×2n+1-
n(n+1)
2

,=-
2-2n+1
1-2
+n×2n+1-
n(n+1)
2
=(n-1)×2n+1-
n2+n-4
2
…(8分)
t=2,Sn-2an=[(n-1)2n+1-
n2+n-4
2
]-2(n×2n-n)
=-[2n+1+
(n+1)(n-4)
2
]
S1-2a1=-1<0,S2-2a2=-5<0,S3-2a3=-14<0
当n≥4时,Sn-2an=-[2n+1+
(n+1)(n-4)
2
]<0
∴当t=2时,对一切n∈N*,Sn<2an恒成立.
当0<t<2时,Sn-2an=[(n-1)2n+1-
n2+n-4
2
]-t(n×2n-n)
=[(2-t)n-2]×2n-
n2+n
2
+tn+2>[(2-t)n-2]×2n-
n2+n
2

M=
3
2-t
,则当n大于比M大的正整数时,Sn-tan2n-
n(n+1)
2
=[1+n+
n(n-1)
2
+…]-
n2+n
2
>0

也就证明当t∈(0,2)时,存在正整数n,使得Sn>tan
也就是说当t∈(0,2)时,Sn≤tan不可能对一切n∈N*都成立.∴t的最小值为2.…(14分)
举一反三
函数y=log2
x-1
8
的图象可由函数y=log2x的图象经过下列的哪种平移而得到(  )
A.先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.按向量a=(1,-3)平移
D.按向量a=(-1,3)平移
题型:成都一模难度:| 查看答案
把函数y=


2x+5
+1
的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,所得图象的函数解析式为(  )
A.y=


2x+7
B.y=


2x+9
C.y=


2x+1
D.


2x+3
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-3x2+6x-7的图象是中心对称图形,其对称中心为 ______.
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
把函数y=lnx的图象按向量


a
=(-2,3)
平移后得到y=f(x)的图象,则y=f(x)为(  )
A.ln(x+2)+3B.ln(x+2)-3C.ln(x-2)+3D.ln(x-2)-3
题型:德阳二模难度:| 查看答案
定义行列式运算:
.
a1a2
a3a4
.
=a1a4-a2a3
,将函数f(x)=
.


3
,cosx
1,sinx
.
的图象向左平移m个单位(m>0),若所得图象对应的函数为偶函数,则m的最小值是(  )
A.
3
B.
π
3
C.
π
8
D.
5
6
π
题型:不详难度:| 查看答案
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