解:(1)由于x≥1,y≥1,所以
xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2
将上式中的右式减左式,得(y+x+(xy)2)-(xy(x+y)+1)
=((x+y)2-1)-(xy(x+y)-(x+y))
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1)
既然x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立。
(2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得,
于是,所要证明的不等式即为
其中
故由(1)知所要证明的不等式成立。
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