(1)已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.(2)求证:3+7<25.
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(1)已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.(2)求证:3+7<25.
题型:不详
难度:
来源:
(1)已知a,b>0,求证:a(b
2
+c
2
)+b(c
2
+a
2
)≥4abc.
(2)求证:
3
+
7
<2
5
.
答案
证明:(1)∵b
2
+c
2
≥2bc,a>0,∴a(b
2
+c
2
)≥2abc.
又∵c
2
+a
2
≥2ac,b>0,∴b(c
2
+a
2
)≥2abc.
∴a(b
2
+c
2
)+b(c
2
+a
2
)≥4abc.
(2)∵
3
+
7
和
2
5
都是正数,
要证
3
+
7
<2
5
只需证
(
3
+
7
)
2
<(2
5
)
2
整理得:
21
<5
即证:21<25
∵21<25显然成立
∴原不等式成立
举一反三
(一)已知a,b,c∈R
+
,
①求证:a
2
+b
2
+c
2
≥ab+bc+ac;
②若a+b+c=1,利用①的结论求ab+bc+ac的最大值.
(二)已知a,b,x,y∈R
+
,
①求证:
x
2
a
+
y
2
b
≥
(x+y)
2
a+b
.
②利用①的结论求
1
2x
+
9
1-2x
(0<x<
1
2
)
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知a,b∈(0,+∞),求证:(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4.
题型:不详
难度:
|
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已知x>0,y>0.用分析法证明:
(
x
2
+
y
2
)
1
2
>(
x
3
+
y
3
)
1
3
.
题型:不详
难度:
|
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已知a,b∈R,求证2(a
2
+b
2
)≥(a+b)
2
.
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC中,B=C=
2π
5
,记cosA=x,cosB=cosC=y.
(Ⅰ)求证:1+y=2x
2
;
(Ⅱ)若△ABC的面积等于2sin
π
5
,求AC边上的中线BD的长.
题型:湛江二模
难度:
|
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