(一)已知a,b,c∈R+,①求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ac;②若a+b+c=1,利用①的结论求ab+bc+ac的最大值.(二)已知a,b,x,y∈R
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(一)已知a,b,c∈R+,①求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ac;②若a+b+c=1,利用①的结论求ab+bc+ac的最大值.(二)已知a,b,x,y∈R
题型:不详
难度:
来源:
(一)已知a,b,c∈R
+
,
①求证:a
2
+b
2
+c
2
≥ab+bc+ac;
②若a+b+c=1,利用①的结论求ab+bc+ac的最大值.
(二)已知a,b,x,y∈R
+
,
①求证:
x
2
a
+
y
2
b
≥
(x+y)
2
a+b
.
②利用①的结论求
1
2x
+
9
1-2x
(0<x<
1
2
)
的最小值.
答案
证明:(一)①a
2
+b
2
≥2ab,c
2
+b
2
≥2bc,a
2
+c
2
≥2ac,…(3分)
三式相加可得a
2
+b
2
+c
2
≥ab+bc+ac
当且仅当a=b=c时等号成立 …(6分)
②1=(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ac)≥3(ab+bc+ac)…(9分)
则
ab+bc+ac≤
1
3
,当且仅当a=b=c时等号成立. …(12分)
(二)①要证
x
2
a
+
y
2
b
≥
(x+y)
2
a+b
,只要证
(
x
2
a
+
y
2
b
)(a+b)≥(x+y
)
2
,…(3分)
则
(
x
2
a
+
y
2
b
)(a+b)=
x
2
+
y
2
+
b
x
2
a
+
a
y
2
b
≥
x
2
+
y
2
+2xy=(x+y
)
2
,
当且仅当bx=ay时等号成立.故原不等式得证. …(6分)
②由①的结论知:
1
2x
+
9
1-2x
≥
(1+3)
2
2x+1-2x
=16
,
当且仅当
x=
1
8
时,等号成立. …(12分)
举一反三
已知a,b∈(0,+∞),求证:(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4.
题型:不详
难度:
|
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已知x>0,y>0.用分析法证明:
(
x
2
+
y
2
)
1
2
>(
x
3
+
y
3
)
1
3
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知a,b∈R,求证2(a
2
+b
2
)≥(a+b)
2
.
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC中,B=C=
2π
5
,记cosA=x,cosB=cosC=y.
(Ⅰ)求证:1+y=2x
2
;
(Ⅱ)若△ABC的面积等于2sin
π
5
,求AC边上的中线BD的长.
题型:湛江二模
难度:
|
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用分析法证明:若a>0,则
a
2
+
1
a
2
-
2
≥a+
1
a
-2
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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