若xn=1×2+2×3+…+n(n+1)（n为正整数），求证：不等式  n(n+1)2＜x n＜(n+1)22对一切正整数n恒成立．

题型：不详难度：来源：

若xn=

1×2

+

2×3

+…+

n(n+1)

（n为正整数），
求证：不等式  

n(n+1)

2

＜x n＜

(n+1)2

2

对一切正整数n恒成立．

答案

证明：∵n＜

n(n+1)

＜ n+

1

2

∴1+2+3+…+n＜

1×2

+

2×3

+…+

n(n+1)

＜(1+

1

2

)+(2+

1

2

)+…+(n+

1

2

)
即：

n(n+1)

2

＜x n＜

n2+2n

2

∴

n(n+1)

2

＜x n＜

(n+1)2

2

．
∴不等式  

n(n+1)

2

＜x n＜

(n+1)2

2

对一切正整数n恒成立．．