设{an}是等差数列，an＞0，公差d≠0，求证：an+1+an+4＜an+2+an+3．

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设{an}是等差数列，an＞0，公差d≠0，求证：an+1+an+4＜an+2+an+3．

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设{an}是等差数列，an＞0，公差d≠0，求证：


an+1
+


an+4
＜


an+2
+


an+3
．
答案
证明：∵{an}是等差数列，∴an+k=an+kd．    （2分）
要证


an+1
+


an+4
＜


an+2
+


an+3
，
只要证


an+d
+


an+4d
＜


an+2d
+


an+3d
，
只要证an+d+2


(an+d)(an+4d)
+an+4d＜an+2d+2


(an+2d)(an+3d)
+an+3d，
∵an＞0，∴只要证（an+d）（an+4d）＜（an+2d）（an+3d）（2分）
只要证an2+5dan+4d2＜an2+5dan+6d2，只要证d2＞0．    （2分）
∵已知d≠0，∴d2＞0成立，故


an+1
+


an+4
＜


an+2
+


an+3
．    （2分）
举一反三
（1）已知a，b＞0，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．
（2）求证：


3
+


7
＜2


5
．
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（一）已知a，b，c∈R+，
①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求证：
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
．
②利用①的结论求
1
2x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值．
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已知a，b∈（0，+∞），求证：（a+b）（
1
a
+
1
b
）≥4．
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已知x＞0，y＞0．用分析法证明：(x2+y2)
1
2
＞(x3+y3)
1
3
．
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已知a，b∈R，求证2（a2+b2）≥（a+b）2．
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