设{an}是等差数列,an>0,公差d≠0,求证:an+1+an+4<an+2+an+3.

设{an}是等差数列,an>0,公差d≠0,求证:an+1+an+4<an+2+an+3.

题型:不详难度:来源:
设{an}是等差数列,an>0,公差d≠0,求证:


an+1
+


an+4


an+2
+


an+3
答案
证明:∵{an}是等差数列,∴an+k=an+kd.    (2分)
要证


an+1
+


an+4


an+2
+


an+3

只要证


an+d
+


an+4d


an+2d
+


an+3d

只要证an+d+2


(an+d)(an+4d)
+an+4d<an+2d+2


(an+2d)(an+3d)
+an+3d

∵an>0,∴只要证(an+d)(an+4d)<(an+2d)(an+3d)(2分)
只要证an2+5dan+4d2<an2+5dan+6d2,只要证d2>0.    (2分)
∵已知d≠0,∴d2>0成立,故


an+1
+


an+4


an+2
+


an+3
.    (2分)
举一反三
(1)已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
(2)求证:


3
+


7
<2


5
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(一)已知a,b,c∈R+
①求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ac;
②若a+b+c=1,利用①的结论求ab+bc+ac的最大值.
(二)已知a,b,x,y∈R+
①求证:
x2
a
+
y2
b
(x+y)2
a+b

②利用①的结论求
1
2x
+
9
1-2x
(0<x<
1
2
)
的最小值.
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已知a,b∈(0,+∞),求证:(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4.
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已知x>0,y>0.用分析法证明:(x2+y2)
1
2
>(x3+y3)
1
3
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已知a,b∈R,求证2(a2+b2)≥(a+b)2
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