已知a,b,c,d是实数,用分析法证明:a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2.
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已知a,b,c,d是实数,用分析法证明:a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2.
题型:不详
难度:
来源:
已知a,b,c,d是实数,用分析法证明:
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
≥
(a+c)
2
+
(b+d)
2
.
答案
证明:要证原不等式成立,只要证
(
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
)
2
≥(a+c
)
2
+(b+d
)
2
,
即证
(
(
a
2
+
b
2
)(
c
2
+
d
2
)
≥ac+bd
.
(1)若ac+bd≤0,上式已经成立,原不等式成立
(2)若ac+bd>0,只要证(a
2
+b
2
)(c
2
+d
2
)≥(ac+bd)
2
即证a
2
d
2
+b
2
c
2
≥2abcd,而此式成立,原不等式成立.
综上(1)(2),原不等式成立.
举一反三
设x,y,z∈R
+
,求证:
2
x
2
y+z
+
2
y
2
z+x
+
2
z
2
x+y
≥x+y+z
.
题型:不详
难度:
|
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若
x
n
=
1×2
+
2×3
+…+
n(n+1)
(n为正整数),
求证:不等式
n(n+1)
2
<x
n
<
(n+1)
2
2
对一切正整数n恒成立.
题型:不详
难度:
|
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如图△ABC,D是△ABC内一点,延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE=CF,G,H,M分别为BD,AC,EF的中点,如果G,H,M三点共线.
求证:AB=CD.
题型:不详
难度:
|
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设{a
n
}是等差数列,a
n
>0,公差d≠0,求证:
a
n+1
+
a
n+4
<
a
n+2
+
a
n+3
.
题型:不详
难度:
|
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(1)已知a,b>0,求证:a(b
2
+c
2
)+b(c
2
+a
2
)≥4abc.
(2)求证:
3
+
7
<2
5
.
题型:不详
难度:
|
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