各项均为正数的数列对一切均满足.证明:(1);(2).

各项均为正数的数列对一切均满足.证明:(1);(2).

题型:不详难度:来源:
各项均为正数的数列对一切均满足.证明:
(1)
(2)
答案
(1)详见解析,(2)详见解析.
解析

试题分析:(1)作差证明不等式,因为,所以,且
因此.即.(2)本题证明:用数学归纳法,而证明用反证法. ① 当时,由题设可知成立;② 假设时,
时,由(1)得,.由①,②可得,.假设存在自然数,使得,则一定存在自然数,使得.因为, ,,与题设矛盾,所以,.若,则,根据上述证明可知存在矛盾.
【证明】(1)因为,与题设矛盾,所以,.若,则,根据上述证明可知存在矛盾.
所以
所以,且
因为
所以
所以,即.                          4分
(注:用反证法证明参照给分)
(2)下面用数学归纳法证明:
① 当时,由题设可知结论成立;
② 假设时,
时,由(1)得,
由①,②可得,.                               7分
下面先证明
假设存在自然数,使得,则一定存在自然数,使得
因为
, ,
与题设矛盾,所以,.          
,则,根据上述证明可知存在矛盾.
所以成立.                                          10分
举一反三
是否存在常数使得对一切恒成立?若存在,求出的值,并用数学归纳法证明;若不存在,说明理由.
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的展开式中,的系数为的系数为,其中
(1)求(2)是否存在常数p,q(p<q),使,对恒成立?证明你的结论.
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利用数学归纳法证明“, ()”时,在验证成立时,左边应该是                 
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已知是函数的两个零点,其中常数,设
(Ⅰ)用表示
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)求证:对任意的
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用数学归纳法证明: 的第二步中,当时等式左边与时的等式左边的差等于   .
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