已知,是函数的两个零点,其中常数,,设.(Ⅰ)用,表示,;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)求证:对任意的.

已知,是函数的两个零点,其中常数,,设.(Ⅰ)用,表示,;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)求证:对任意的.

题型:不详难度:来源:
已知是函数的两个零点,其中常数,设
(Ⅰ)用表示
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)求证:对任意的
答案
(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析,(Ⅲ)详见解析.
解析

试题分析:(Ⅰ)由题意得:.因为,所以.对抽象的求和符号具体化处理,是解答本题的关键.(Ⅱ)
,(Ⅲ)用数学归纳法证明有关自然数的命题. (1)当时,由(Ⅰ)问知是整数,结论成立.(2)假设当)时结论成立,即都是整数,由(Ⅱ)问知.即时,结论也成立.
解:(Ⅰ)由
因为,所以
.     3分
(Ⅱ)由,得

,同理,
所以
所以.     8分
(Ⅲ)用数学归纳法证明.
(1)当时,由(Ⅰ)问知是整数,结论成立.
(2)假设当)时结论成立,即都是整数.
,得

所以
所以

都是整数,且,所以也是整数.
时,结论也成立.
由(1)(2)可知,对于一切的值都是整数.      13分
举一反三
用数学归纳法证明: 的第二步中,当时等式左边与时的等式左边的差等于   .
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已知数列计算由此推测出的计算公式,并用数学归纳法证明.
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证明:.
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由下列各个不等式:

你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
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用数学归纳法证明,从,左边需要增乘的代数式为()
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
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