设关于正整数的函数(1)求;(2)是否存在常数使得对一切自然数都成立?并证明你的结论
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设关于正整数的函数(1)求;(2)是否存在常数使得对一切自然数都成立?并证明你的结论
题型:不详
难度:
来源:
设关于正整数
的函数
(1)求
;
(2)是否存在常数
使得
对一切自然数
都成立?并证明你的结论
答案
(1)
,
,
(2)根据数学归纳法思想,先利用特殊值来得到参数的a,b,c的值,然后对于解题的结果运用数学归纳法加以证明。
解析
试题分析:解:(1)
,
,
3分
(2)假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,n=1,2,3得
6分
于是,对n=1,2,3下面等式成立:
8分
记
假设n=k时上式成立,即
10分
那么
也就是说,等式对n=k+1也成立 3分
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立 14分
点评:主要是考查了运用数学归纳法证明与自然数相关的命题,以及归纳猜想思想的运用。属于中档题。
举一反三
利用数学归纳法证明
“
”时,从“
”变到 “
”时,左边应增乘的因式是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
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用数学归纳法证明等式
时,第一步验证
时,左边应取的项是( )
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
题型:不详
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是否存在实数
使得关于n的等式
成立?若存在,求出
的值并证明等式,若不存在,请说明理由.
题型:不详
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设f(n)=1+
+
+ +
(n∈N
*
).
求证:f(1)+f(2)+ +f(n-1)=n·[f(n)-1](n≥2,n∈N
*
).
题型:不详
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用数学归纳法证明1+a+a
2
+ +a
n
+1
=
(n∈N
*
,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为( )
A.1
B.1+a+a
2
C.1+a
D.1+a+a
2
+a
3
题型:不详
难度:
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