已知数列{an}中,a1=22,an+1=n+1n+2an(n=1,2,…).计算a2,a3,a4的值,根据计算结果,猜想an的通项公式,并用数学归纳法进行证明
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已知数列{an}中,a1=22,an+1=n+1n+2an(n=1,2,…).计算a2,a3,a4的值,根据计算结果,猜想an的通项公式,并用数学归纳法进行证明
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}中,
a
1
=
2
2
,
a
n+1
=
n+1
n+2
a
n
(n=1,2,…)
.计算a
2
,a
3
,a
4
的值,根据计算结果,猜想a
n
的通项公式,并用数学归纳法进行证明.
答案
根据已知,
a
2
=
3
3
,
a
3
=
4
4
=
1
2
,
a
4
=
5
5
,
猜测
a
n
=
n+1
n+1
.…(3分)
证明:①当n=1时,由已知,左边=
2
2
,右边=
1+1
1+1
=
2
2
,猜想成立.…(4分)
②假设当n=k(k∈N
*
)时猜想成立,即
a
k
=
k+1
k+1
,…(5分)
那么,
a
k+1
=
k+1
k+2
a
k
=
k+1
k+2
•
k+1
k+1
=
1
k+2
=
k+2
k+2
=
(k+1)+1
(k+1)+1
,…(7分)
所以,当n=k+1时,猜想也成立.
根据①和②,可知猜想对于任何n∈N
*
都成立.…(8分)
举一反三
用数学归纳法证明等式:n∈N,n≥1,
1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
.
题型:不详
难度:
|
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若x
i
>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:(x
1
+x
2
)(
1
x
1
+
1
x
2
)≥4,(x
1
+x
2
+x
3
)(
1
x
1
+
1
x
2
+
1
x
3
)≥9,…,
请你猜测(x
1
+x
2
+…+x
n
)(
1
x
1
+
1
x
2
+…+
1
x
n
)满足的不等式,并用数学归纳法加以证明.
题型:不详
难度:
|
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(不等式选讲)
用数学归纳法证明不等式:
(
且
)
题型:不详
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用数学归纳法证明
题型:不详
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用数学归纳法证明
,
题型:不详
难度:
|
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